The Power of math

Oleh: Diah Saputri  (Matematika Swadana 2010 / 10305144031)

http://diah-saputri.blogspot.com

Bilangan irasional

Kita telah mengenal banyak bilangan, seperti halnya bilangan prima, bilangan real, bilangan cacah, bilangan irasional, bilangan rasional, bilangan asli dan bilangan bulat. Tetapi disini saya akan membahas mengenai bilangan irasional khususnya   yg disebut bilangan irasional, sebelumya perlu kita tahu bahwa penemu bilangan irasional adalah Hippasus dari Metapontum (ca. 500 SM). Awalnya kita pasti bertanya-tanya kenapa  disebut bilangan irasional. Tentunya kita harus mengetahui apakah  tersebut bilangan rasional atau bukan, terlebih dahulu kita harus mengetahui apa definisi bilangan rasional itu sendiri. Menurut kamus bahasa indonesia Bilangan rasional adalah bilangan bilangan Real yang dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan a/b dimana a dan b harus integer.  Jadi bilangan irasional adalah bilangan Real yang tidak dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan a/b.

            Jadi untuk membuktikan  adalah bilangan irasional kita bisa menggunakan metode kontradiksi. Yaitu kita mengasumsikan bahwa  merupakan bilangan rasional yang dapat dibentuk menjadi a/b, pernyataan ini bernilai benar. Selanjutnya kita akan membuktikan bahwa asumsi yang kita buat itu bernialai salah. Dengan demikian kita dapat menarik kesimpulan bahwa asumsi yang kita buat itu salah, dan tentunya akan membuktikan bahwa  adalah bilangan irasional.

Pertama-tama kita asumsikan  adalah rasional yang dapat diubah menjadi a/b dan ini pernyataan bernilai benar.

    = a/b                 (menurut definisi bilangan rasional)

Kemudian kedua ruas dikuadratkan sehingga menjadi

2 = a²/b²

2b² = a²    ...............................(i)

Dari persamaan tersebut kita ketahui bahwa ruas kiri tentunya merupakan bilangan genap. Bilangan berapa pun yang dikalikan dengan dengan 2 akan menjadi bilangan genap. Karena ruas kiri genap maka ruas kanan haruslah genap juga, kita misalkan saja a = 2k. Selanjutnya kita subtitusikan ke persamaan (i) sehingga kita peroleh

2b² = (2k)²

2b² = 4k²

Dengan demikian kita ketahui bahwa b² merupakan genap dan tentu saja b haruslah genap. Artinya asumsi ini a dan b keduannya haruslah genap. Padahal seharusnya a dan b haruslah relattif prima. Karena apabila a dan b genap tentunya bisa disederhanakan, sehingga a dan b tidak memenuhi asumsi  = a/b. Jadi  adalah bilangan irasional.

Apa benar jumlah sudut dalam segitiga itu 180⁰ ?

            Apakah sebelumnya kita pernah terfikir apa benar jumlah sudut dalam segitiga adalah 180⁰ . Mungkin saja beberapa dari kita berkata itu sudah suatu ketentuan. Untuk itu saya akan membuktikan bahwa jumlah sudut dalam segitiga adalah 180⁰.

Pertama kita buat segitiga sembarang dan kita beri nama dalam setiap titik sudutnya. Seperti gambar dibawah ini.

Kemudian kita buat perpanjangan garis dari titik manapun. Misalkan kita perpanjang garis AC.  Lalu, melalui titik C, kita buat garis yang sejajar dengan AB.

 

Setelah itu kita amati gambar tersebut sehingga kita akan mendapat informasi bahwa:
mÐ DCE = mÐ CAB karena sehadab

mÐ BCE = mÐ ABC karena dalam bersebrangan

mÐ ACB = mÐ ACB karena berhimpit

Dari gambar kita ketahui bahwa Ð ACB, Ð BCE, Ð ECD  terletak dalam satu garis. Jumlah sudut yang terletak dalam satu garis jumlahnya adalah 180⁰.

Maka mÐ ACB+ mÐ BCE+ m Ð ECD = 180⁰

Maka kita dapatkan besar sudut dalam segitiga:       

Ð ACB + Ð ABC + Ð CAB = 180⁰               (Terbukti)

http://hendrydext.blogspot.com/2008/08/bukti-jumlah-sudut-segitiga-180-derajat.html

Sejarah bilangan prima

Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... dan seterusnya. Banyak bilangan prima tidak terhingga. Tidak peduli berapa banyak kita menghitung, pasti kita akan menemukan bilangan prima, walaupun mungkin makin jarang. Hal ini menjadi teka-teki kita, jika kita ingat bilangan ini tidak dapat dibagi oleh angka lainnya.

Bilangan ini memiliki keistimewaan, yaitu tidak adanya pola yang mengatur kemunculannya, bilangan prima ini nampak muncul secara acak. Masyarakat pertama yang diketahui telah mempelajari bilangan ini secara lebih mendalam adalah para matematikawan dari Yunani Kuno. Selain itu, banyak ahli matematika yang telah mencoba untuk mengungkap misteri dari bilangan ini pada abad modern. Saat ini bilangan prima diaplikasikan pada komputer dalam hal pengkodean. Salah satunya adalah enkripsi. Enkripsi adalah suatu proses transformasi data menggunakan perhitungan tertentu sehingga tidak dapat dibaca oleh orang lain kecuali bagi mereka yang telah mengetahui cara perhitungan tersebut.

Bilangan prima adalah dasar dari matematika, dan sampai saat ini bilangan prima menjadi misteri alam semesta. Hal ini karena masih banyak permasalahan mengenai bilangan prima, seperti halnya pola bilangan prima itu sendiri. Karena kita ketahui bahwa munculnya bilangan prima dalam suatu deret angka itu terjadi secara acak.  Berikut merupakan salah satu contoh akan hasil penemuan mengenai bilangan prima oleh para ahli

Euclid (325 SM) membuktikan bahwa bilangan prima memiliki jumlah yang tidak terbatas. Euclid juga membuktikan teorema dasar aritmatika. Di dalam teori bilangan, teori dasar arimatika menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih dari satu dapat dituliskan sebagai perkalian unik dari bilangan prima, misalnya 6936 = 2³ x 3¹ x 17²  ; 1200= 2⁴ x 3¹ x 5²  adalah dua contoh bilangan yang memenuhi teorema bahwa bilangan-bilangan tersebut dapat dituliskan sebagai perkalian dari bilangan prima.

http://midahzone.blogspot.com/2011_11_01_archive.html