lirik lagu Nantikanku di Batas Waktu oleh edCoustic

 

Dikedalaman hatiku tersembunyi harapan yang suci
Tak perlu engkau menyangsikan
Lewat kesalihanmu yang terukir menghiasi dirimu
Tak perlu dengan kata-kata

Sungguh walau kukelu tuk mengungkapkan perasaanku
Namun penantianmu pada diriku jangan salahkan

Kalau memang kau pilihkan aku
Tunggu sampai aku datang nanti
Kubawa kau pergi kesyurga abadi

Kini belumlah saatnya aku membalas cintamu
Nantikanku dibatas waktu

MATEMATIKA UNTUK KU

Oleh: Diah Saputri  (Matematika Swadana 2010 / 10305144031)

http://diah-saputri.blogspot.com

Kita sebagai mahasiswa yang mendalami akan matematika tentunya mengetahui apa sih manfaat matematika itu. Tapi mungkin ada beberapa yang kurang memahami apa itu manfaat matematika. Untuk itu saya akan membahas mengenai manfaat matematika serta unsur dasar matematika itu.

                Sebelumnya perlu kita tahu apa sih matematika itu, Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para matematikawan mencari berbagai pola, merumuskan konjektur baru, dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian. Ada juga yang mengatakan bahwa matematika adalah bahasa neumerik; matematika adalah bahasa yang dapat menghilangkan sifat kabur, majemuk, dan emosional; matematika adalah metode berpikir logis; matematika adalah sarana berpikirsedangkan  berdasarkan etimologi (Elea Tinggih, 1972 :5). Perkataan matematika berarti “Ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan bernalar”. Sehingga dapat dikatakan bahwa matematika memiliki banyak arti, tergantung bagaimana kita memandang matematika itu.

                Untuk dapat mengetahui apa matematika itu kita harus mempelajari sendiri ilmu matematika itu, yaitu dengan mempelajari, mengkaji, dan mengerjakannya. Termasuk  pengkajian sejauh timbulnya matematika dan perkembangannya. Termasuk kita harus mengetahui apa unsur-unsur dasar matematika itu. Unsur-unsur dasar matematika meliputi mempelajari  pola atau hubungan, pemecahan masalah dalam matematika yang nantinya kita harus dapat mengkomunikasikannya, serta agar kita dapat memecahkan masalahnya maka kita harus meneliti atau menyelidiki masalah tersebut. Dengan demikian kita dituntut agar mencari tahu mengapa hal tersebut bisa terjadi. Setelah kita mengetahui apa itu unsur-unsur dasar matematika tentunya kita akan mengetahui apa itu manfaat matematika. Sehingga nantinya kita dapat belajar matematika dengan benar dan dapat mengapresiasikannya dalam kehidupan. Dimana manfaat yang didapat ketika belajar matematika antara lain

1. Kombinasi (Statistika) bisa digunakan untuk mengetahui banyaknya formasi tim bola voli yang bisa dibentuk.
2. Aritmatika hampir digunakan setiap hari, yaitu untuk hitung-menghitung.
3. Geometri bisa digunakan para ahli sipil karena geometri salah satunya adalah membahas tentang bangun dan keruangan.
4. Aljabar bisa digunakan untuk memecahkan masalah bagaimana memperoleh laba sebanyak mungkin dengan biaya sesedikit mungkin.
5. Mungkin dengan logika Matematika juga bisa membantu untuk berpikir logis, tapi tentu saja bukan hanya Matematika saja yang bisa membantu dalam berpikir logis.

Referensi:

http://deking.wordpress.com/2007/03/06/untuk-apa-belajar-matematika/

http://www.maswins.com/2010/06/pengertian-matematika.html

Mengenal Sejarah Mtematika

Oleh: Diah Saputri

 (Matematika Swadana 2010 / 10305144031)

http://diah-saputri.blogspot.com

Dari video yang saya lihat kemarin, video tersebut mencertikan bagaimana matematika itu berkembang dari Timur ke Barat hingga melahirkan dunia modern. Pertama dari tembok besar Cina pada 220 BC. Ketika membangun tembok Cina, matematikawan Cina kuno menyadari bahwa mereka perlu melakukan perhitungan akan jarak, sudut elevasi dan jumlah material yang ada. Dasar matematika Cina kuno adalah bilangan sederhana dengan menggunakan bambu kecil, bambu tersebut mereka susun pada kolom yang mewakili satuan, puluhan, ratusan dst. Seperti yang saat ini telah kita gunakan, yaitu menggunakan angka satu sampai simbilan. Cina kuno menggunakan sistem nilai tapi dengan simbol yang ditulis kebawah, hal ini karena mereka tidak mempunyai konsep nol. Selain itu orang Cina kuno masih percaya akan kemistisan angka hal ini terlihat bahwa mereka percaya angka ganjil itu untuk laki-laki, angka 8 untuk memberikan keberuntungan dan mereka menghindari angka 4 dalam biaya.

Sedangkan orang Tiongkok kuno tertarik akan pola penjumlahan yang kemudian mereka kembangkan menjadi sodoku atau yang terkenal dengan persegi ajaib, diamana jumlah angka hosisontal, vertikal maupun diagonalnya adalah 15. Disini matematika berperan penting dalam menjumlahkan kelender dan pergerakan planet. Di Tiongkok terdapat kerajaan dimana kaisarnya punya 121 wanita dan caisar harus tidur dengan mereka semua dalam waktu yang berbeda-beda maka wanita itu dikelompokkan menurut kastanya maka setiap wanita memiliki waktu yang sama. Hal ini tidak lah porno karena dari situlah tercipta konsep deret ukur.  Pada abad 19 negara Barat belum mengenal sistem persamaan pecahan tetapi di Cina sudah mengenal sistem ini, meski belum digunakan untuk memecahkan persamaan dalam jumlah besar. Dan pada abad 6, orang cina telah menemukan teorema sisa Cina yang digunakan untuk bidang astronomi, yaitu mengukur pergerakan planet dan digunakan untuk pengkodean pada pemrograman.  Abad 13, Qin Jiushao seorang matematikawan dari Cina mencoba memecahkan persamaan. Dan Qin menemukan cara memecahkan persamaan kubik, dia juga mengetahui volum bangunan dan hubungan antar dimensi. Isaac Newton juga memiliki metode yang mirip dan dapat diterapkan tapi persamaan lebih rumit. Disini Qin melibatkan angka sampai sepuluh tapi ia kesulitan dalam memberikan perkiraan solusi padahal matematika merupakan ilmu pasti yang harus mempunyai jawaban pasti.

Ternyata tidak hanya di Cina kuno sistem tempat desimal ditemukan tetapi orang India juga telah menemukan. Orang India juga telah menyempurnakan angka yang digunakkan saat ini. Angka nol ditemukan di dinding candi kecil di benteng dari Gwalior di India tengah. Di Yunani, matematikawan menganggap nol tidak ada, sedangkan di Mesir, Mesopotamia dan Cina, nol merupakan ruang kosong untuk menunjuk nol dalam angka. Kemungkinan ketika setelah menulis dengan batu kemudian dihapus terdapat lubang kecil ini kemudian disebut nol. Menurut orang India alam semesta lahir dari ketidakadaan dan ketiadaan.

Pada abad 7, Brahmagupta dari India menemukan sifat-sifat nol dan cara menghitung dari sifat-sifat nol. Akan tetapi dia menemukan kesulitan dalam membagi bilangan dengan nol. Maka pada abad 12, Bhaskara II, melakukan eksperimen dengan sebuah buah-buahan. Pertama ia membagi buah tersebut menjadi dua ia mendapatkan dua bagian. Kemudian ia membagi buah menjadi tiga dan ia mendapat tiga bagian yang sama. Dari sinilah ia mendapatkan bahwa jika buah tersebut dibagi lebih banyak maka ia kan mendapatkan potongan-potongan yang lebih kecil dan lebih banyak. Sehingga ia menyimpulkan bahwa bilangan yang dibagi dengan nol hasilnya tak terhingga. Di India juga ditemukan bilangan negatif atau sering disebut oleh mereka dengan “hutang”. Sehingga Brahmagupta memahami tentang angka negatif dan ia menganggap bahwa suatu persamaan kuadrat pasti punya 2 solusi, yang mungkin salah satunya bisa angka negatif.

Fermat dari Perancis juga mulai menemukan cara memecahkan persamaan kuadrat. Dia melakukkan percobaan dengan cara menulis persamaan kebawah menggunakan inisial nama warna yang berbeda untuk mewakili apa yang tidak diketahui dari persamaan, yang pada akhirnya berkembang seperti sekarang ini yang kita kenal dengan variabel x dan y. Matematikawan India  kuno juga telah menemukan dasar trigonometri meski yang mengembangkan pertama kali adalah orang Yunani kuno. Di Delhi, para astronom mempelajari bintang-bintang menggunakan trigonometri, yaitu jarak bumi dan bulan, bumi dan matahari. Sehingga akan membentuk segitiga siku-siku.Meski orang Yunani kuno merupakan orang pertama yang mengembangkan sinus tapi mereka tidak dapat menghitung sinus pada setiap sudutnya.

Abad awal abad 16 di India, Aryabata menemukan pi yang akurat yaitu 3,1416, kemudian ia melanjutkannya untuk membuat pengukuran bumi. Pada abad 15, Madhava menemukan jumlah ketakterbatasan. Ia juga menyadari bahwa ia bisa menggunakan infiniti untuk mendapatkan nilai pi uang akurat. Yaitu dengan cara berturut-turut menmbahkan dan mengurangkan pecahan yang berbeda.

Abad 7, kerajaan islam mulai menyebar di Timur Tengah. Ajaran Nabi mengilhami daerah dan sampailah kerajaan islam di India Timur. Fez mempelajari subjek dalam bidang astronimi, kedokteran, kimia dan matematika. Pada masa itu, dalam suatu universitas, para ulama dikumpulkan untuk menerjemahkan teks kuno dan menyimpannya untuk anak cucu. Beruntunglah kita berkat mereka kini kita mengenal Mesir, Babilonia, Yunani, dan India. Salah satu matematikawan dari Arab adalah Al khawarizmi yang mengenalkan angka satu sampai sembilan dan nol. Dia juga merupakan penemu aljabar dan ia memiliki buku yang berjudul Al Jabar Wa’air muqabala (perhitungan dengan restorasi atau pengurangan).

Holy Grail menemukan metode untuk memecahkan pesamaan kubic. Pada abad 11, Omar Khayam dari Persia juga menemukan metode umum untuk memecahkan persamaan kubic. Pada abad 13, di Eropa mulai mengeksplorasi perdagangan dengan Timur. Dari sinilah pengetahuan mulai masuk ke Eropa. Contohnya adalah  Leonardo / Fibonaci dari Pisa menemukan beberapa angka yang disebut deret Fibonaci. Hal ini didasari dari perkawinan kelinci, ilustrasinya seperti berikut: kelinci butuh waktu dua bulan untuk kematangan setelah itu baru melahirkan sepasang kelinci. Sehingga timbul pemikiran berapa banyak pasang kelinci lahir dalam setiap bulannya. Awal bulan pertama kelinci belum dapat melahirkan sehingga masih terdapat sepasang kelinci. Pada bulan kedua sepasang kelinci belum melahirkan juga karena belum cukup matang. Pada bualan ketiga melahirkan dua pasang kelinci, sehingga sekarang kelincinya ada dua pasang. pada bualan ke empat sepasang kelinci pertama melahirkan lagi tetapi sepasang kelinci yang lain belum dapat melahirkan, sehingga sekarang kelincinya ada tiga pasang, dan seperti itu seterusnya. Sehingga jika kita tulis dalam bentuk deret adalah seperti berikut : 1, 1, 2, 3... .

Pada abad 16, Tartaglia menemukan formula untuk memecahkan persamaan kubic, tapi dia hanya tahu memecahkan satu persamaan kubic saja. Oleh karena itu ia ditantang oleh Fior untuk menyelesaikan persamaan kubic yang lain karena ia menganggap bahwa Tartaglia tidak akan mampu menjawab tantangannya. Tapi beberapa saat sebelum kontes Tartaglia telah menemukan cara menyelesaikan persamaan kubic yang lain. Sehingga ia dapat menjawab tantangan Fior kurang dari dua jam. Keberhasilan Tartaglia ini  begitu cepat menyebar hingga Millan. Seorang matematikawan bernama Cardano meminta rahasia Tartaglia akan pemecahan persamaan tersebut dan berjanji tidak akan membongkarnya, tetapi pada kenyataannya dia menggunakan rahasia itu sendiri untuk menyelesaikan persamaan kubic bersama Ferrari brilian. Sehingga sampai saat ini persamaan kubik dikenal sebagai rumus Cardano.

The Power of math

Oleh: Diah Saputri  (Matematika Swadana 2010 / 10305144031)

http://diah-saputri.blogspot.com

Bilangan irasional

Kita telah mengenal banyak bilangan, seperti halnya bilangan prima, bilangan real, bilangan cacah, bilangan irasional, bilangan rasional, bilangan asli dan bilangan bulat. Tetapi disini saya akan membahas mengenai bilangan irasional khususnya   yg disebut bilangan irasional, sebelumya perlu kita tahu bahwa penemu bilangan irasional adalah Hippasus dari Metapontum (ca. 500 SM). Awalnya kita pasti bertanya-tanya kenapa  disebut bilangan irasional. Tentunya kita harus mengetahui apakah  tersebut bilangan rasional atau bukan, terlebih dahulu kita harus mengetahui apa definisi bilangan rasional itu sendiri. Menurut kamus bahasa indonesia Bilangan rasional adalah bilangan bilangan Real yang dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan a/b dimana a dan b harus integer.  Jadi bilangan irasional adalah bilangan Real yang tidak dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan a/b.

            Jadi untuk membuktikan  adalah bilangan irasional kita bisa menggunakan metode kontradiksi. Yaitu kita mengasumsikan bahwa  merupakan bilangan rasional yang dapat dibentuk menjadi a/b, pernyataan ini bernilai benar. Selanjutnya kita akan membuktikan bahwa asumsi yang kita buat itu bernialai salah. Dengan demikian kita dapat menarik kesimpulan bahwa asumsi yang kita buat itu salah, dan tentunya akan membuktikan bahwa  adalah bilangan irasional.

Pertama-tama kita asumsikan  adalah rasional yang dapat diubah menjadi a/b dan ini pernyataan bernilai benar.

    = a/b                 (menurut definisi bilangan rasional)

Kemudian kedua ruas dikuadratkan sehingga menjadi

2 = a²/b²

2b² = a²    ...............................(i)

Dari persamaan tersebut kita ketahui bahwa ruas kiri tentunya merupakan bilangan genap. Bilangan berapa pun yang dikalikan dengan dengan 2 akan menjadi bilangan genap. Karena ruas kiri genap maka ruas kanan haruslah genap juga, kita misalkan saja a = 2k. Selanjutnya kita subtitusikan ke persamaan (i) sehingga kita peroleh

2b² = (2k)²

2b² = 4k²

Dengan demikian kita ketahui bahwa b² merupakan genap dan tentu saja b haruslah genap. Artinya asumsi ini a dan b keduannya haruslah genap. Padahal seharusnya a dan b haruslah relattif prima. Karena apabila a dan b genap tentunya bisa disederhanakan, sehingga a dan b tidak memenuhi asumsi  = a/b. Jadi  adalah bilangan irasional.

Apa benar jumlah sudut dalam segitiga itu 180⁰ ?

            Apakah sebelumnya kita pernah terfikir apa benar jumlah sudut dalam segitiga adalah 180⁰ . Mungkin saja beberapa dari kita berkata itu sudah suatu ketentuan. Untuk itu saya akan membuktikan bahwa jumlah sudut dalam segitiga adalah 180⁰.

Pertama kita buat segitiga sembarang dan kita beri nama dalam setiap titik sudutnya. Seperti gambar dibawah ini.

Kemudian kita buat perpanjangan garis dari titik manapun. Misalkan kita perpanjang garis AC.  Lalu, melalui titik C, kita buat garis yang sejajar dengan AB.

 

Setelah itu kita amati gambar tersebut sehingga kita akan mendapat informasi bahwa:
mÐ DCE = mÐ CAB karena sehadab

mÐ BCE = mÐ ABC karena dalam bersebrangan

mÐ ACB = mÐ ACB karena berhimpit

Dari gambar kita ketahui bahwa Ð ACB, Ð BCE, Ð ECD  terletak dalam satu garis. Jumlah sudut yang terletak dalam satu garis jumlahnya adalah 180⁰.

Maka mÐ ACB+ mÐ BCE+ m Ð ECD = 180⁰

Maka kita dapatkan besar sudut dalam segitiga:       

Ð ACB + Ð ABC + Ð CAB = 180⁰               (Terbukti)

http://hendrydext.blogspot.com/2008/08/bukti-jumlah-sudut-segitiga-180-derajat.html

Sejarah bilangan prima

Bilangan prima adalah bilangan yang hanya dapat habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1. Angka 12 bukan merupakan bilangan prima, karena dapat habis dibagi oleh angka lainnya 2, 3, dan 4. Bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... dan seterusnya. Banyak bilangan prima tidak terhingga. Tidak peduli berapa banyak kita menghitung, pasti kita akan menemukan bilangan prima, walaupun mungkin makin jarang. Hal ini menjadi teka-teki kita, jika kita ingat bilangan ini tidak dapat dibagi oleh angka lainnya.

Bilangan ini memiliki keistimewaan, yaitu tidak adanya pola yang mengatur kemunculannya, bilangan prima ini nampak muncul secara acak. Masyarakat pertama yang diketahui telah mempelajari bilangan ini secara lebih mendalam adalah para matematikawan dari Yunani Kuno. Selain itu, banyak ahli matematika yang telah mencoba untuk mengungkap misteri dari bilangan ini pada abad modern. Saat ini bilangan prima diaplikasikan pada komputer dalam hal pengkodean. Salah satunya adalah enkripsi. Enkripsi adalah suatu proses transformasi data menggunakan perhitungan tertentu sehingga tidak dapat dibaca oleh orang lain kecuali bagi mereka yang telah mengetahui cara perhitungan tersebut.

Bilangan prima adalah dasar dari matematika, dan sampai saat ini bilangan prima menjadi misteri alam semesta. Hal ini karena masih banyak permasalahan mengenai bilangan prima, seperti halnya pola bilangan prima itu sendiri. Karena kita ketahui bahwa munculnya bilangan prima dalam suatu deret angka itu terjadi secara acak.  Berikut merupakan salah satu contoh akan hasil penemuan mengenai bilangan prima oleh para ahli

Euclid (325 SM) membuktikan bahwa bilangan prima memiliki jumlah yang tidak terbatas. Euclid juga membuktikan teorema dasar aritmatika. Di dalam teori bilangan, teori dasar arimatika menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih dari satu dapat dituliskan sebagai perkalian unik dari bilangan prima, misalnya 6936 = 2³ x 3¹ x 17²  ; 1200= 2⁴ x 3¹ x 5²  adalah dua contoh bilangan yang memenuhi teorema bahwa bilangan-bilangan tersebut dapat dituliskan sebagai perkalian dari bilangan prima.

http://midahzone.blogspot.com/2011_11_01_archive.html